亨利·龐加萊

物理學家必須要首先成為幾何學家。
——大衛·希爾伯特

幾何圖形是繪畫必不可少的。
——阿波利奈爾

撰文｜蔡天新

01 第四維與現代藝術

19世紀前半葉是從古典進入到現代的關鍵時期，走在最前列的依然是生性敏感的詩人和數學家，愛倫·坡和波德萊爾的相繼出現，非歐幾何學和非交換代數的接連問世，標志著以亞里士多德的《詩學》和歐幾里得的《原本》為準則的延續了兩千多年的古典時代的終結。進入到那個世紀的后半葉以后，更加速了產生天才人物的步伐，在1880年前后不到兩年的時間里，科學巨匠愛因斯坦和藝術大師畢加索分別在德國南方和西班牙南方兩個偏遠的小鎮烏爾姆和馬拉加出世，這兩個生命的誕生為技術主義泛濫的二十世紀增添了迷人的光彩。

畢加索的《夢》（1932）

毫無疑問，愛因斯坦和畢加索這兩位激勵了好幾代科學家和藝術家的天才人物，是我們這個時代遙不可及的偶像。阿瑟·I·米勒博士（《愛因斯坦·畢加索》作者）甚至斷言，現代科學就是愛因斯坦，現代藝術就是畢加索。在這部奇特的著作里，作者分析了上述兩位天才的案例，他們各自的生活經驗、工作經歷和創造性中的相似性，尤其是在上個世紀的頭一個十五年，也即他們二十歲到三十五歲（最具創造力的）那段時期，不僅為我們揭示了他們思考方式的共同點，也讓我們窺見了藝術創造和科學發現的本質。

年輕時的愛因斯坦

當人們仍在激烈地辯論非歐幾何學以及違反歐幾里德第五公設的哲學后果時，法國數學家亨利·龐加萊是這樣教我們想象四維世界的，“外在物體的形象被描繪在視網膜上，這個視網膜是一個二維畫；這些形象是一副透視圖……”按照他的解釋，既然二維面的一個景象是從三維面而來的投影，那么三維面上的一個形象也可以看成是從四維而來的投影。龐加萊建議，可以將第四維描述成畫布上接連出現的不同透視圖。依照畢加索的視覺天賦，他認為這不同的透視圖應該在時間同時性里展示出來，于是就有了《阿維尼翁少女》——立體主義的開山之作（阿維尼翁是法國南方靠近馬賽的一座小鎮，離開凡·高的圣地阿爾只有十幾公里遠）。

龐加萊被認為是通曉全部數學與應用數學知識的最后一個人，他涉足的研究領域驚人地廣泛，并不斷使之豐富。他還是數學的天才普及者，其平裝本的通俗讀本被人們爭相搶購，并被譯成多種文字，在不同的國度和階層傳播，就如同后來的理論物理學家、《時間簡史》的作者斯蒂芬·霍金那樣。在龐加萊著作《科學與假設》（1902）的眾多讀者里頭，有一位叫普蘭斯的巴黎保險精算師，在立體主義誕生前夕，他與比他年輕六歲的畢加索共有一位情婦，正是這位水性楊花的女人把普蘭斯介紹給了畢加索，于是畢加索和他的“洗衣舫”藝術家圈子才有機會聆聽非正式的幾何學講座。

畢加索的巴黎洗衣舫

《阿維尼翁少女》的命名人、詩人安德烈·薩爾蒙后來在《巴黎日報》的專欄文章里稱贊普蘭斯是“立體主義的數學家”，并在1907年夏天（《阿維尼翁少女》創作期）這個關鍵時刻做出了特殊的貢獻。他寫道，“在蒙馬爾特的那間舊畫室里進行的激烈的辯論和探討，立體主義就是在那里誕生的。”這些相互啟發的討論的參與者里既有畫家，也有詩人。詩人們“只不過提供了一些有意味的語匯，這對理解新生事物十分必要。還有一個神秘的數學家，他給朋友們提供了經過推理的準確性。”不管畢加索本人是否承認，幾何學成為他“充滿熱情地探索著的”新藝術語言。

其實，薩爾蒙的描述多少有些夸張。在畢加索的藝術家圈子里，最重要的要數詩人阿波利奈爾，他同時也是小說家、演出經紀人、美食品嘗家、藏書家、色情文學的支持者，并被后人尊稱為立體主義繪畫的解釋人。在巴黎的一次秋季沙龍開幕式上，阿波利奈爾發表了關于第四維和現代藝術的演講。在他眼里，第四維并不是一個數學概念（他恐怕理解不了歐氏幾何和非歐幾何的區別），而是一個隱喻，它包含著新美學的種子。阿波利奈爾把立體主義與科學革命相提并論，認為“立體主義用一個無限的宇宙取代了一個以人為中心的有限宇宙”；“幾何圖形是繪畫必不可少的，幾何學對于造型藝術就如同語法對寫作藝術一樣重要。”必須指出，普蘭斯也是那次沙龍的組委會成員，顯而易見，阿波利奈爾把他引進的幾何學加以發揮了。如同文藝復興時期的藝術家創立透視法和沒影點（vanishing point）這兩種幾何方法獲得了第三維，立體主義畫家也擁抱了第四維。

郵票上的阿波利奈爾

02 第四維與相對論

至于第四維與愛因斯坦相對論的關系，那是有目共睹的。龐加萊于1898年發表的一篇論文探討了如何“在一個以時間為第四維的四維空間里建立一種數學表述”，其重要性立刻被愛因斯坦在瑞士聯邦工業大學的數學老師閔可夫斯基捕捉到了，并適時傳遞給了學生，盡管數學家本人對這個經常逃學的留小胡子的青年毫無印象。1904年，即發現狹義相對論的前一年，愛因斯坦讀到《科學與假設》的德文譯本，立刻被書中席卷數學、科學和哲學的氣勢所感動，從中了解了幾何學的基礎。可是，直到1912年（龐加萊于該年去世，此時閔可夫斯基已過世三年），愛因斯坦才恍然領悟到，狹義相對論只有在高度幾何化后才能完全廣義化。而在廣義相對論發表后的第二年，即1916年，德國數學家希爾伯特發出了這樣的感嘆：“物理學家必須要首先成為幾何學家。”

愛因斯坦的老師閔可夫斯基

雖然愛因斯坦的相對論誕生已經一個世紀了，人們對它的理解仍十分膚淺，只知道根據這一理論，時間是相對的，空間是彎曲的，光并不是沿著直線傳播的；物質和能量的分布決定著時空的彎曲，這種時空彎曲等同于萬有引力。這里我想引用一位物理學家舉的例子，“讓我們設想有兩只飛船。飛船X以每秒10萬公里的速度飛離地球。飛船上的觀測者和地球上的觀測者同時對這一速度進行測量，他們得到的結果是一致的。假設飛船Y以與飛船X相同的方向運行，地球上的觀測者測量它的速度是每秒18萬公里，愛因斯坦預言，如果兩只飛船上的觀測者來測量它們之間分離的速度時，會是每秒10萬公里而非8萬公里。”

這個結果表面上看起來十分荒謬，但可以用愛因斯坦發現的質能轉換公式來推導，也即一個質量為M的物質的能量E等于該質量M和光速c（每秒18.6萬英里）的平方的乘積，這個公式為愛因斯坦贏得了持久的聲譽，“政治是暫時的，而方程式是永恒的”，同時c平方這個龐大的數字也可以解釋投放在廣島和長崎的那兩顆原子彈的威力。不過，那兩次爆炸使得愛因斯坦痛心不已，正是他在1939年致函美國總統羅斯福，指出研制原子能的必要性，并強調美國搶在德國之前發展這一武器的重要性，這封信促進了直接導致第一顆原子彈的“曼哈頓計劃”的開展。

如果上述例子仍不足以解釋相對論，還有一種辦法可以幫助我們理解，那就是試圖理解更難的非歐幾何學。直到十八世紀末十九世紀初，幾何領域仍然是歐幾里得一統天下，笛卡爾的解析幾何只是改變了幾何研究的方法，并使牛頓和萊布尼茲發明的微積分學表述得更加清晰，卻沒有從本質上改變歐氏幾何本身的內容。歐氏幾何賴以存在的前提中有這么一條不那么自明的假設，即“過直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行”，也就是所謂的“第五公設”。這個曖昧的假設引起了數學家的廣泛關注，其中大多數人試圖證明它，也有的沿著不同的方向，即試圖給出相反的假設。

俄國人羅巴切夫斯基就是一個叛逆性的人物，1826年，他在偏遠的喀山（那里離哈薩克斯坦比離莫斯科更近一些）大學發表了非歐幾何學的第一篇論文，正是在假定“過直線外一點可以引至少兩條直線與已知直線平行”的基礎上。可是，由于語言的隔膜和交通的不便，這項成果將近十年以后才傳遞到西歐，幾乎就被匈牙利數學家鮑耶搶了先，而高斯只是記錄在筆記本上。1854年，德國數學家黎曼發展了羅氏理論而建立起更廣泛的非歐幾何學，他引進了流形曲率的概念，在三維常曲率空間里有三種情況，即曲率為正常數，零或負常數。后面兩種情形分別對應于歐氏幾何和羅巴切夫斯基幾何，而第一種幾何是黎曼本人的創造，它意味著“過直線外一點不能引任何直線與已知直線平行”。

至此，有關非歐幾何學的含義就變得比較明晰了，多年以后，龐加萊等人又先后在歐氏空間中給出非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現實意義。無論是歐氏幾何還是非歐幾何，都存在任意有限維的甚至無限維的空間，龐加萊為物理學家提供了那個以時間為第四維的四維空間，可以看作是非歐幾何學的一個特例。閔可夫斯基進一步指出，在這個四維度量空間的長度計算公式里，第四維時間t的平方前面需要加一個負號。這個公式是如此美妙，愛因斯坦的一位同事、物理學家馬克斯·玻恩這樣感嘆，“從那以后，所有的理論物理學家每天都在使用它。”總之，在廣義相對論里，空間和時間變成了一種四維結構，只不過這個四維結構的形狀被其中的大質量物體扭曲了。這樣一來，宇宙就由一塊剛性的鐵板變成了一個彈性的墊子。

03 是征服者，非殖民者

1854年，即黎曼拓展非歐幾何學的那一年，龐加萊出生在法國東北部名城南錫的一個顯赫家族，他的父親是一位著名的醫生，他的一位堂弟在第一次世界大戰期間曾出任法蘭西第三共和國總統，另一位堂弟曾任大眾教育和美術部長。龐加萊的超常智力不僅使他接受知識極為迅速，同時擁有一副流利的口才，并從小得到才華出眾的母親的教導，卻不幸在五歲時患上白喉癥，從此變得體弱多病，不能順利地用口語表達思想。但他依然喜歡各種游戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，且能準確持久地記住讀過的內容。小龐加萊擅長的科目包括文學、歷史、地理、自然史和博物學，他對數學的興趣來得比較晚，大約開始于15歲，不過很快顯露出非凡的才華。

19歲那年，龐加萊第二次贏得全法國中學生數學競賽一等獎，被保送到巴黎的綜合工科學院，從此離開了自己的故鄉。雖然龐加萊從未在南錫念過大學，但那里的最高學府——南錫第一大學（建于1572年）卻以他的名字命名。中國數學家華羅庚獲得的第一個學位便是這所大學授予的榮譽博士學位，那是在二十世紀七十年代末。2002年春天，筆者有幸在亨利·龐加萊大學訪問了三個月，不僅了解到龐加萊的父親曾是這所大學醫學院的教授，也對南錫這座綠草如茵的小城留下美好的記憶，十二世紀以來她就是洛林王朝的都城（2012年，南錫一大與其他三校合并易名為洛林大學）。龐加萊從綜合理工學院畢業后進入高等礦冶學院，幾年后獲得采礦工程師的資格，可是他卻醉心于數學，繼續攻讀科學博士學位，再后來，他成了巴黎大學數學和天文學的終生教授，并在母校綜合理工學院擁有類似的職位。

亨利·龐加萊大學

龐加萊從未在一個研究領域作過久的逗留，一位同僚戲稱他是“征服者，而不是殖民者”。即使在數學和相對論以外，他的貢獻也難以勝數：光學、電學、電報、彈性力學、熱力學、量子論、勢論、毛細現象、宇宙起源，等等。從某種意義上講，整個數學都是龐加萊的領域，但他對拓撲學的貢獻無疑最為重要。1904年，誕生了著名的龐加萊猜想：任意三維的單連通閉流形必與球面同胚。將近一個世紀以后，這個猜想才被俄國數學家佩雷爾曼證明。之前，它已經被懸賞一百萬美金。有意思的是，這個猜想在大于或等于五維和四維上的推廣，先后被兩位美國數學家攻克，因此獲得了兩枚菲爾茲獎章（1966、1986）。可是，佩雷爾曼卻謝絕了第三枚菲爾茲獎（2006）以及其他任何榮譽。

龐加萊猜想的證明者佩雷爾曼

龐加萊的哲學著作除了《科學與假設》以外，具有重大影響的還有《科學的價值》《科學方法論》。他是唯心主義的約定論哲學的代表人物，認為公理可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據，避開一切矛盾。同時，他反對無窮集合的概念，反對把自然數歸結為集合論，認為數學最基本的直觀是自然數，這使他成為直覺主義的先驅者之一。正是由于這些成就的取得才使龐加萊既當選為法蘭西科學院的院士（后成為院長），又當選為法蘭西學院的院士，他同時處身于科學和人文兩座金字塔的塔尖。龐加萊相信藝術家和科學家之間創造力的共性，相信“只有通過科學與藝術，文明才體現出價值”。

龐加萊給世人的印象是，留著胡子，戴著金絲眼鏡，神態莊重。從氣質上講，我認為他與稍后的同胞畫家馬蒂斯、作曲家德彪西比較接近，他對哲學、文化領域的關注和貢獻則延續了帕斯卡爾、笛卡爾這些前輩同行的傳統。龐加萊被認為是一位法語散文大師，其哲學著作在各界人士中擁有廣泛的讀者。同樣以文字見長的諾貝爾文學獎得主、長期引領英倫學術界和思想界的哲學家伯特蘭·羅素也曾經談到，龐加萊是二十世紀初法蘭西最偉大的人物。當他在巴黎初次拜訪這位數學奇才時，“舌頭一下子失去了功能，直到費了一些時間（大約兩、三分鐘），仔細端詳和承受可謂他思想的外部形式的面貌和神采時，我才發現自己能夠說話了。”

英國哲學家羅素

可是，每個人都有他的時代局限性，雖然龐加萊對相對論做出了不可磨滅的貢獻（相對性 relativity這個詞是由他發明的），但直到去世他都沒有完全接受狹義相對論，這也是讓愛因斯坦永遠感到遺憾的一件事。事實上，龐加萊和荷蘭物理學家洛倫茲都曾無限接近，分別是從哲學和數學的角度。用后輩物理學家楊振寧的話說，愛因斯坦對于時空有著更為自由的眼光。正如英國數學家兼哲學家懷特海所言，“非常接近真理和真正懂得它的意義是兩回事。每一個重要的理論都在它發現之前被人說過。”

1911年萬圣節，也是龐加萊生命中的最后一個冬天，他和愛因斯坦在布魯塞爾舉行的一次光學會議上首次得以相見。雖然龐加萊沒有明說，但愛因斯坦敏感地意識到了。他非常失望地告訴友人，“龐加萊（對相對論）基本上持否定態度。”盡管意見不一致，但會議一結束，龐加萊就應愛因斯坦的請求給后者的母校——瑞士聯邦工業大學寫了一封推薦信，“愛因斯坦先生是我所見過的最具創新精神的思想家之一……”次年夏天，龐加萊穿衣時腦血栓梗塞逝世于巴黎，年僅58歲，愛因斯坦則返回蘇黎世做上了教授。

龐加萊家族墓碑，巴黎蒙巴納斯

2004年2月，杭州

2015年2月，修改

（本文選自作者隨筆集《數學傳奇》，商務印書館，2016年，英文版今年秋天由Springer出版，另有俄文版、繁體字版，德文版將于2026年面世。）