新智元報(bào)道

編輯：桃子

歷時(shí)50年「十杯馬提尼」重大猜想，終于被證明了！北大Lingrui Ge等多位學(xué)者，在全局理論中找到了對(duì)偶方程，從數(shù)學(xué)角度解開一只蝴蝶的翅膀。

時(shí)隔半個(gè)世紀(jì)，「十杯馬提尼猜想」終于畫上了句號(hào)。

這個(gè)連接量子物理學(xué)和數(shù)學(xué)的難題，只為了解開「一只蝴蝶翅膀」之謎——「霍夫施塔特蝴蝶」（Hofstadter butterfly）。

美著名數(shù)學(xué)家Mark Kac曾開玩笑表示，「不論是誰，只要攻克這一難題，就懸賞十杯馬提尼酒」。

如今，來自北大Lingrui Ge，基于菲爾茲獎(jiǎng)得主Artur Avila的「全局理論」，找到了一個(gè)破局的全新視角。

他聯(lián)手南開大學(xué)Jiangong You、Qi Zhou，構(gòu)建了一個(gè)單一、強(qiáng)大的優(yōu)美證明，成功挖掘出關(guān)于「對(duì)偶方程」的秘密。

這一證明，已于2023年發(fā)表在arXiv期刊上。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2306.16387

它不僅解決了霍夫施塔特蝴蝶難題，還進(jìn)一步證明了抽象的數(shù)論在物理現(xiàn)實(shí)中強(qiáng)大力量。

不僅如此，基于改進(jìn)版「全局理論」，他們又接連攻克了另外兩個(gè)關(guān)鍵問題。

對(duì)此，Lingrui Ge表示，「全局理論」背后的奧秘就像黑暗海洋中的一座燈塔，為我們指明了正確的方向。

這個(gè)值「十杯馬提尼」的難題，從何而來？

意外的嘗試，一只蝴蝶誕生了

1974年，還是俄勒岡大學(xué)的物理學(xué)博士Douglas Hofstadter，跟隨導(dǎo)師前往德國(guó)Regensburg，借此練習(xí)德語。

當(dāng)時(shí)，他們二人加入了一個(gè)由頂尖理論物理學(xué)家組成的團(tuán)隊(duì)，試圖攻克一個(gè)量子力學(xué)難題：

如何確定置于磁場(chǎng)中，晶格里電子的能級(jí)？

Douglas因著作G?del, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid獲「普利策獎(jiǎng)」

Douglas就像一個(gè)「局外人」，完全跟不上別人的思路。

如今回想起來，這倒成為了一件幸事。他表示，「團(tuán)隊(duì)忙于證明各種定理，但它們與問題的本質(zhì)毫無關(guān)系」。

于是，他選擇另辟蹊徑，嘗試一種更「接地氣」的方法。

不去證明定理，而是用一臺(tái)重達(dá)18公斤惠普 9820A臺(tái)式計(jì)算器，來求解薛定諤方程——量子力學(xué)的核心方程。

它能解釋電子在特定環(huán)境下的行為，尤其是，具有多少能量。

在這一問題中，薛定諤方程包含一個(gè)「變量alpha」——磁場(chǎng)強(qiáng)度與晶格單元面積的乘積，概括了作用于電子上的力的信息。

當(dāng)alpha是有理數(shù)時(shí)，要么是整數(shù)，要么是分?jǐn)?shù)，求解雖難但可行；

可一旦alpha是無理數(shù)，即無法表示為分?jǐn)?shù)，問題便變得棘手。

Douglas并沒有像其他人一樣與無理數(shù)死磕，而是從有理數(shù)入手，編程計(jì)算逐一處理，夜以繼日地輸出結(jié)果。

縱軸代表磁通量，橫軸代表電子能級(jí)

最終，他將這些「能級(jí)值」方格紙粘在一起，用筆勾勒出一幅令人驚嘆的圖案。

因其形似蝴蝶翅膀，由此被譽(yù)為「霍夫施塔特蝴蝶」（Hofstadter butterfly）。

這幅圖揭示了一個(gè)分形結(jié)構(gòu)：隨著alpha有理數(shù)分母增大，能級(jí)帶之間的禁帶增多。

更令人震驚的是，圖案中的微小局部，竟與整體形態(tài)驚人的相似。

電子能級(jí)形成的分形圖案

他敏銳地察覺道，這個(gè)分形的背后，一定隱藏著深刻的數(shù)學(xué)真理——康托爾集（Georg Cantor）。

Douglas注意到，隨著有理數(shù)alpha值越來越逼近某個(gè)無理數(shù)，允許能級(jí)的集合——即蝴蝶圖上每一行的墨跡帶——也越來越像一個(gè)康托爾集。

因此，他大膽假設(shè)：當(dāng) alpha 為無理數(shù)時(shí)，電子能級(jí)可能形成一個(gè)真正的康托爾集。

康托爾集核心要義：取一條線段，將其三等分，然后抹去中間部分得到由一個(gè)缺口隔開的兩條線段，若將此過程無限執(zhí)行下去，最終將得到一個(gè)無窮點(diǎn)集，如塵埃般散落在數(shù)軸上

然而，Douglas這一發(fā)現(xiàn)，并未立即得到認(rèn)可。

同事們嘲笑他這種方法「點(diǎn)草成金」，就連導(dǎo)師斥之為「數(shù)字命理學(xué)」（numerology），并威脅要切斷他的研究經(jīng)費(fèi)。

但Douglas不為所動(dòng)，直覺告訴他，這個(gè)「蝴蝶」非同小可。

十杯馬提尼的「賭局」

數(shù)年后，兩位著名數(shù)學(xué)家，從一個(gè)截然不同的角度得出了相同的結(jié)論。

Barry Simon和Mark Kac當(dāng)時(shí)，正在研究「殆周期函數(shù)」（almost-periodic functions）的數(shù)學(xué)對(duì)象。

于周期函數(shù)不同的是，其歸集無限接近重復(fù)，卻永不重復(fù)。

1981年，Barry和Mark共進(jìn)午餐，討論了Douglas試圖解決的「薛定諤方程」。

他們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)alpha為無理數(shù)時(shí)，該方程恰好變成了一個(gè)「殆周期函數(shù)」。

基于對(duì)「殆周期函數(shù)」的了解，他們斷定電子能級(jí)確實(shí)可能形成康托爾集，進(jìn)一步印證了Douglas的猜想。

然而，證明這一猜想異常困難。當(dāng)時(shí)，Mark Kac放話，誰能證明就請(qǐng)誰喝十杯馬提尼。

這個(gè)挑戰(zhàn)因此得名「十杯馬提尼猜想」，成為數(shù)學(xué)界的一大懸案。

多年來，數(shù)學(xué)家們不斷取得進(jìn)展，逐步證明了該猜想對(duì)某些（但非全部）無理數(shù)alpha成立。

1982年，Barry宣布一項(xiàng)此類階段性成果，Mark兌現(xiàn)了三杯馬提尼。然而不幸地是，Mark于1984年去世時(shí)，問題仍未完全解決。

一個(gè)值滿十杯馬提尼的完整證明，又過了20年才姍姍來遲。

時(shí)隔20年，菲爾茲獎(jiǎng)得主證明了

2003年，Svetlana Jitomirskaya剛剛放棄了將「十杯馬提尼猜想」作為畢生事業(yè)的目標(biāo)。

多年來，她專注于研究薛定諤方程中的「殆周期函數(shù)」，卻在一年前，被競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手Joaquim Puig捷足先登。

Joaquim基于她早先發(fā)表的技術(shù)，提出了一個(gè)優(yōu)美的論證，證明了除少數(shù)幾類無理數(shù)alpha外的所有情況。

Svetlana回憶道，所有最難的工作都在我的證明里，結(jié)果他卻搶了先。

正當(dāng)她灰心意冷時(shí)，24歲的Artur Avila提議合作攻克剩余的alpha值。

兩人攜手作戰(zhàn)，最終在2005年發(fā)布了證明，登上了《數(shù)學(xué)年刊》。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/math/0503363

因此，Artur也榮獲了菲爾茲獎(jiǎng)。他們決定親自兌現(xiàn)「十杯馬提尼」的約定，痛飲慶祝。

然而，這個(gè)證明實(shí)際上并不完美。

它僅適用于特定無理數(shù)alpha，并且需結(jié)合前人一個(gè)階段性證明，才能宣稱問題已解決。

就像一件「打滿補(bǔ)丁的衣服」，缺乏了整體性和優(yōu)雅。

更重要的是，這一證明，基于簡(jiǎn)化的電子環(huán)境假設(shè)，與現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性相去甚遠(yuǎn)。

ETH Zurich數(shù)學(xué)家Simon Becker質(zhì)疑道，「你只是驗(yàn)證了一個(gè)理想模型，但這又和現(xiàn)實(shí)世界有什么關(guān)系呢」？

現(xiàn)實(shí)世界中，原子排列模式更復(fù)雜，磁場(chǎng)也并非完全恒定。

一旦調(diào)整薛定諤方程，「十杯馬提尼」證明便宣告失效，也似乎暗示著那些美麗的分形圖案——「霍夫施塔特蝴蝶」，只是數(shù)學(xué)巧合。

就連提出者Douglas本人在著作G?del, Escher, Bach中寫道，「若實(shí)驗(yàn)真觀測(cè)到蝴蝶，我將是全世界最驚訝的人」。

到2013年，哥倫比亞大學(xué)的一組物理學(xué)家用兩層超薄石墨烯在磁場(chǎng)中測(cè)量電子能級(jí)，成功捕捉到了「霍夫施塔特蝴蝶」。

他們將兩層超薄的石墨烯置于磁場(chǎng)中，測(cè)量其電子的能級(jí)。那個(gè)量子分形結(jié)構(gòu)赫然顯現(xiàn)，瑰麗無比。

論文地址：https://www.nature.com/articles/nature12186

Svetlana卻渴望用數(shù)學(xué)來解釋這一切，中國(guó)團(tuán)隊(duì)的出手，讓一切又變得柳暗花明。

北大學(xué)者，畫上了句號(hào)

2019年，Lingrui Ge加入了Svetlana的小組，深受Artur Avila的「全局理論」（global theory）的啟發(fā)。

全局理論，旨在揭示各類殆周期函數(shù)中更高層次的普適結(jié)構(gòu)，從而一舉解決整類函數(shù)問題。

初始的「全局理論」是無法直接應(yīng)對(duì)「十杯馬提尼」問題所需的對(duì)偶方程。

Lingrui Ge卻從中看到了潛力。

由此，他與Svetlana、南開大學(xué)兩位學(xué)者合作，開發(fā)了一種解讀幾何對(duì)象的新方法，成功將其應(yīng)用于對(duì)偶方程。

這項(xiàng)突破，不僅增強(qiáng)了「全局理論」的威力，還促成了一個(gè)統(tǒng)一的證明，解決了「十杯馬提尼猜想」的多種變體。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2308.09321

研究中，研究人員發(fā)現(xiàn)了一大類符合特定條件的算子，都具有一種「康托集」的特殊頻譜結(jié)構(gòu)。

為此，他們采用了對(duì)偶上同調(diào)的分析方法，同步發(fā)展了三個(gè)創(chuàng)新的通用工具：

擴(kuò)展有限程算子類的Kotani理論應(yīng)用范圍

證明某類算子的點(diǎn)譜的單純性

改進(jìn)Joaquim Puig的論證方法，使其適用于全頻率情況

如前所述，隨后團(tuán)隊(duì)又利用改進(jìn)的「全局理論」，攻克了該領(lǐng)域的另外兩個(gè)關(guān)鍵問題。

截至目前，這已跨越半個(gè)世紀(jì)的科學(xué)旅程，如今已通過數(shù)學(xué)證明和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得到確認(rèn)。

中國(guó)團(tuán)隊(duì)的努力，提供了一個(gè)更普適的理論框架，讓「霍夫施塔特蝴蝶」從一個(gè)奇思妙想，成為了數(shù)學(xué)與物理交互的里程碑。

參考資料：

https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/