到達下一站或約定會面地點的最短路線是什么？全球定位系統(tǒng)(GPS)已成為大多數(shù)人日常生活的一部分。然而，到目前為止，確定手機或其他導(dǎo)航設(shè)備準確位置所需的GPS衛(wèi)星的最低數(shù)量仍是一個推測問題。慕尼黑工業(yè)大學(xué)(TUM)和埃因霍溫理工大學(xué)(TU/e)的研究人員現(xiàn)已證明，在大多數(shù)情況下，使用五顆衛(wèi)星即可確定精確位置。目前，我們通常可以確保僅與四顆衛(wèi)星取得聯(lián)系。

通常，GPS指示我們的位置的精度僅為幾米。但是我們都經(jīng)歷過這樣的情況：可能的誤差增加到幾百米，或者指示的位置完全錯誤。其中一個原因可能是與導(dǎo)航設(shè)備視線接觸的衛(wèi)星數(shù)量較少，或者衛(wèi)星的相對對準度不利。

Gregor Kemper，慕尼黑工業(yè)大學(xué)算法代數(shù)教授；Mireille Boutin，埃因霍溫理工大學(xué)離散代數(shù)與幾何學(xué)教授

GPS如何工作？

GPS衛(wèi)星配備了極其精確的原子鐘，可以隨時知道自己的位置。它們不斷用無線電波傳輸時間和位置。移動電話或其他導(dǎo)航設(shè)備會從視線范圍內(nèi)的所有衛(wèi)星接收這些信號。接收器本地時鐘的到達時間與衛(wèi)星時鐘記錄的傳輸時間之間的差值對應(yīng)于信號從衛(wèi)星傳播到接收器所需的時間（“飛行時間”）。由于無線電波以光速傳播，因此飛行時間決定了信號覆蓋的距離。衛(wèi)星位置和距離可用于通過方程組計算接收器的位置。

這種簡化的描述沒有考慮到接收器中的本地時鐘不是原子鐘的事實。如果它只差百萬分之一秒，計算出的位置就會至少差300米。GPS的問題在于，手機或其他導(dǎo)航設(shè)備需要確定位置的同時還要確定精確的時間——在相對論中被稱為時空。

如果視線范圍內(nèi)的衛(wèi)星數(shù)量太少，系統(tǒng)將無法可靠運行，并提供多個解決方案，即接收器可能位于多個不同的位置。這可能會導(dǎo)致手機指示錯誤位置或根本不指示位置的情況。到目前為止，獲得GPS問題唯一解決方案所需的衛(wèi)星數(shù)量還只是推測。

五顆衛(wèi)星實現(xiàn)精確定位

埃因霍溫理工大學(xué)離散代數(shù)和幾何學(xué)教授Mireille Boutin和慕尼黑工業(yè)大學(xué)算法代數(shù)教授Gregor Kemper目前已經(jīng)得出一個數(shù)學(xué)證明，即如果有五顆或更多衛(wèi)星，幾乎在所有情況下都可以唯一地確定接收器的確切位置。Gregor Kemper說：“盡管這是一個長期存在的猜想，但沒有人能夠找到證明。而且它遠非簡單：我們花了一年多的時間才找到答案。”目前，地球上的每個位置都可以隨時與至少四顆衛(wèi)星進行視距接觸。

Kemper說，“粗略地說，只有四顆衛(wèi)星，GPS問題找到唯一解的概率似乎是50%。證明這一說法是我們下一個項目之一。”如果視距內(nèi)只有三顆或更少的衛(wèi)星，GPS導(dǎo)航肯定無法工作。

幾何與唯一性

研究人員通過用幾何術(shù)語描述GPS問題得出了這一證明。他們發(fā)現(xiàn)，如果衛(wèi)星位于雙曲面旋轉(zhuǎn)體上，則無法唯一確定接收器的位置。這是一個向所有方向開放的曲面。雖然這個結(jié)果是理論上的，但它具有實際好處，可以更好地理解定位的不準確性。

格雷戈爾·肯珀(Gregor Kemper)教授現(xiàn)已給出數(shù)學(xué)證明，表明只要有五顆或更多衛(wèi)星，幾乎在所有情況下都可以唯一地確定接收器的精確位置。