兩個高中生發現的勾股定理新證明，現在論文來了。

而且就在剛剛，數學大神陶哲軒在看完這篇論文之后評價道：

前幾年聽說這個消息時候，還沒有任何實質性的細節證明。

但現在，（在一些限制條件下）她們確實發現了至少五個新證明，而且跟任何已有的證明都不相同。

這兩位高中生分別是 Ne’Kiya Jackson和 Calcea Johnson。

她們在 2022 年發現勾股定理新證明的時候，正就讀于美國新奧爾良的圣瑪麗學院（St. Mary’s Academy）。

▲ 左：Ne’Kiya Jackson；右：Calcea Johnson

勾股定理想必大家都已經非常熟悉了，包括那句耳熟能詳的“勾三股四弦五”，以及它的基本公式 a2+b2=c2。

雖然這個定理已經有 2500 多年的歷史，但毫不夸張地說，它的重要性依然貫穿于現代數學之中。

當時她們二人提出新證明時，可以說是在圈內引起了不小的轟動。因為長期以來，數學家們基本上都采用代數和幾何的方法來證明這個定理。

但她們采用的卻是三角學（Trigonometry，基于對角度及邊長之間關系的直接推導）這個數學分支來做證明。

這是特別具有挑戰性的一件事情。因為三角學在很大程度上就是基于勾股定理，大多數情況下就會導致所謂的“循環論證”（circular reasoning），即證明過程中偷用了待證的結果。

早在 1927 年，數學家 Elisha Loomis 就曾斷言道：

使用三角學的規則無法完成對勾股定理的證明。

然而，就是這么一個看似“不可能”的方法，卻被兩位高中生給突破了。

要知道，當時跟她倆采用類似方法做過證明的，只有 2 位專業的數學家 ——Jason Zimba 和 Nuno Luzia，分別于 2009 年和 2015 年提出。

而現如今，二人正式在《美國數學月刊》公布了論文，把證明過程的細節內容都亮了出來，也得到了陶哲軒的認可。

更重要的是，這篇論文不僅詳細介紹了五種全新的證明方法，她們還提出了一個系統性的方法，預計能夠生成至少五種額外的新證明。

換言之，五個新證明是保底的，也可以達到十個！

其中，只有一個證明是她們在 2023 年 3 月參加學術會議時展示過的，另外九個是全新的。

那么她們二人到底是如何做到，我們繼續往下看。

三角學證明和三個先決條件

首先，我們來了解她們二人對三角學證明的解釋。

三角學證明是使用三角函數的性質、恒等式和基本定理來證明幾何或代數命題的方法。

它通常利用三角函數（如正弦、余弦、正切等）之間的關系，結合已知的三角恒等式和公式來得出結論。

實際上，正弦和余弦的三角比率是為一個銳角 α 定義的，通過創建一個直角三角形 ABC，其中 α 是兩個銳角之一，然后比較三條邊中的兩條的長度：

sinα 定義為對邊 BC 與斜邊 AB 的比值，cosα 是鄰邊 AC 與斜邊的比值。

但是，通過測量直角三角形來定義正弦或余弦只對銳角有效，所有其他角度需要一個完全不同的方法。

對于這些角度，她們使用單位圓：

從點 (1, 0) 開始，向逆時針方向（對于負角是順時針方向）沿著圓移動，直到達到所需的中心角 α，最終到達點 (x, y)。然后我們定義 cosα = x 和 sinα = y。

對于一個銳角，這兩種方法給出的正弦或余弦函數值是相同的，如圖 1 所示：

但只有第一種方法可以合理地被稱為三角學的，第二種方法可能被稱為圓的（cyclotopic）會更恰當一些，如圖 2 所示：

實際上，這兩種方法之間的區別意味著，通過余弦定理（我們從 c2 = a2 + b2 ? 2abcosγ 開始，讓 γ 成為一個直角）來證明勾股定理是一個圓的證明，而不是一個三角學的：

三角學不能計算一個直角的余弦值，而圓的測量告訴我們 cos (90°) = 0。

同樣，使用 cos (α ? β) 的公式（讓 α = β 在恒等式 cos (α ? β) = cosαcosβ + sinα*sinβ 中）來證明勾股定理也是圓的而不是三角學的，使用 sin (α + β) 的公式也是如此，其中 α 和 β 是互補角。

聲稱一個證明是三角學的也可以基于其他理由被否認。

例如，勾股定理最著名的證明之一使用了相似性 △ ABC ～ △ ACD ～ △ CBD，如圖 3 所示：由于 a / c = x / a 和 b / c = y / b，有 c = x + y = a2/c + b2/c，從而得出 a2 + b2 = c2。

但這個證明可以很容易地被改寫為三角學。

由于 a / c = x / a = sinα，有 x = asinα = (csinα) sinα = csin2α，同樣 y = ccos2α。然后 c = x + y = c (sin2α + cos2α)，從中得出 1 = sin2α + cos2α = (a / c)2 + (b / c)2，因此 a2 + b2 = c2。

但在這里使用三角學術語并沒有增加任何東西 —— 事實上，它只會使相同的方法更加復雜 —— 因此可以說這個證明使用了相似三角形，而不是三角學。

更一般地，任何證明 a2 + b2 = c2 的證明都可以通過將 csinα 寫作 a 和 ccosα 寫作 b（或者通過重新縮放邊 a、b 和 c 到 sinα、cosα 和 1）來改寫為“三角”證明。

首先證明 sin2α + cos2α = 1，之后反向替換 sinα = a / c 和 cosα = b / c 以顯示 a2 + b2 = c2。

這種幻覺顯示需要對一個“三角”勾股定理的證明持懷疑態度，這種證明以這種迂回的方式工作（即，首先證明恒等式 sin2α + cos2α = 1）以確保“三角學”不僅僅是使用正弦和余弦術語對邊長的不必要重述。

為了確保證明勾股定理的過程不依賴于循環論證，她們二人在論文中提到了三個先決條件（preliminaries）：

角度加法公式：

角度加法公式主要用于三角函數中的正弦和余弦運算。

對于銳角 α、β 和 α+β，正弦和余弦滿足以下關系：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβ

這些公式可以確保在不依賴勾股定理的情況下，能夠對正弦和余弦進行直接計算，從而保持證明的嚴謹性和獨立性。

正弦定理

正弦定理被用于分析某些三角形中邊長之間的關系。

正弦定理的核心是描述了三角形各邊的比例關系，當已知兩個角和它們的對邊時，可以確定第三邊的長度。正弦定理表述如下：

這些公式用于接下來的證明中的多個步驟，特別是用于連接和計算不同邊長，以便在已知特定角度的情況下得出邊長關系。

等腰直角三角形的特殊情況

等腰直角三角形中，兩個直角邊相等，這種對稱性簡化了許多計算。這種特殊三角形的邊長關系，直接得出邊長滿足勾股定理：

因此，對于等腰直角三角形，證明過程變得更加簡潔，因為兩邊的平方和直接等于斜邊的平方。

接下來，就到了關鍵的證明部分。

五至十個勾股定理新證明

為了便于閱讀和理解，這部分我們將直接放上證明的原文內容（公式著實不太好展示）。

第一個證明

第二個證明

第三個證明

第四個證明

第五個證明

除此之外，論文還對具體方法做了展開介紹。

二人先是提出了一個她們這項研究所要解決的基本問題，即：

我可以用給定的直角三角形 △ ABC 創造出哪些新的直角三角形？

將對新三角形的構造限制在那些角度為 △ ABC 的三個角度 α、β 和 90°（即 α+β）的整數倍之和或差的三角形上。

由此，這個問題的答案變得直接明了。

引理 1

a) 如果 △ ABC 是一個等腰直角三角形（即 α=β=45°），那么所有角度為 α 和 β 的整數線性組合的三角形都是等腰直角三角形。

b) 如果在直角三角形 △ ABC 中 α<β，則存在一個直角三角形，其銳角為 2α 和 β?α。此外，對于每一對 {α,β}，2α 和 β?α 是唯一能夠形成直角三角形銳角的 α 和 β 的整數線性組合。

證明

a) 由于等腰三角形 △ ABC 的三個角度都是 45° 的倍數，所以任何新三角形的所有角度（這些角度被限制為 △ ABC 的角度之和或差）仍然是 45° 的倍數，因此我們得到的三角形必定是一個等腰直角三角形。換句話說，如果我們從等腰直角三角形開始，那么無法構造出新的三角形。

b) 現在假設 α<β。如果新構造的直角三角形中的一個銳角為 mα+nβ（其中 m,n∈Z），則其補角為：

90°?(mα+nβ)=(α+β)?(mα+nβ)=(1?m)α+(1?n)β

如果整數 n 和 1?n 都不為零，那么其中一個（假設為 n）是負數，那么將 n 替換為 ∣n∣我們可以看到其中一個角度是 mα?nβ，其中 m>n>0。

但是當 α 的度數為 90n/(m+n) 時，其補角 β 的度數為 90m/(m+n)，這種構造將會產生一個角度 mα?nβ=m?90n/(m+n)?n?90m/(m+n)=0。

這表明我們必須有 n=0，即其中一個銳角度數是 mα 的某個 m∈N。

如果 m=1，那么我們簡單地恢復了原始三角形 △ ABC。如果 m=2，那么我們得到一個新的直角三角形，其銳角為 2α 和 β?α（注意 2α<90° 因為 α<45°）。

最后，我們看到 m≥3 是不可能的，因為如果 30°≤α<45°，則不會存在這樣的三角形。

我們的引理確切地告訴我們如何尋找勾股定理的證明（對于非等腰直角三角形）：從我們的原始三角形 ABC 開始，我們盡可能多地嘗試創建一個新的直角三角形，其角度測量為 2α、β ? α 和 90°。

例如，創建一個 2α 角度的最簡單方法是結合兩個 △ ABC 的副本，如圖 13 所示。

這創造了等腰三角形 ABB’，其角度測量為 2α、β 和 β，所以下一步是取其中一個測量為 β 的角度，并將其轉換為測量為 β ? α 或 90 度的角度。

為了在頂點 B’處創建一個 90 度的角度，我們構建一個射線，使其與 BB’成 α 角度。如果我們然后延長邊 AB 以在點 D 處與射線相交，我們就得到了我們第一個證明的圖形（圖 14）。

或者，如果我們在斜邊 AB 的另一側創建 2α 角度，并延長 BC 以在點 D 處與新射線相交，如下所示，我們得到了直接導致我們第二個證明的圖形（圖 15）。

而至于另外五種證明方法，感興趣的讀者可以點擊文末鏈接查看詳情哦。

靈感來自一個高中數學競賽

但除了這次勾股定理的新證明之外，Ne’Kiya Jackson 和 Calcea Johnson 背后的故事也是值得聊一聊。

在這篇論文的致謝部分中，她們也對此做了講述。

事情的起因是二人當年參加的一場高中數學競賽，其中就有一道加分題：

創建一種新的勾股定理證明方法，獎勵 500 美元。

于是，她們決定各自挑戰這道題目。

然而，這項任務比她們最初預想的要困難得多，二人花費了無數個不眠之夜，反復嘗試并失敗。經過大約一個月的努力，她們分別完成了自己的證明并提交了作業。

并且她們的數學老師 Rich 認為證明的方法足夠新穎，值得在數學會議上展示。

盡管她們對自己的工作并沒有太大的信心，但還是決定嘗試一下。

接下來的兩三個月中，二人把所有空閑時間都投入到完善和打磨她們的工作中。她們既獨立工作也共同合作，不僅在放學后，甚至周末和假期都在繼續努力。

在此過程中，在 Rich 的指導下，她們創造了更多的證明方法。

盡管她們不確定是否有機會在會議上展示，因為通常只有專業數學家或偶爾的大學生能夠在這樣的會議上發言，但她們的高中作品最終還是受到了重視，并被批準在 2023 年 3 月的美國數學學會東南分會會議上展示。

Ne’Kiya 和 Calcea 是會議中最年輕的與會者和演講者，雖然她們感到非常緊張，但想到這是她們所有努力的結晶，也讓她們有了信心去展示。

她們的演講獲得了成功，隨后也受到了美國數學學會的鼓勵，將其研究成果提交給學術期刊。

這對二人來說是最艱巨的任務，因為她們對撰寫學術論文毫無經驗。

當時，她們還在適應大學生活的各種挑戰，比如學習 LaTeX 代碼、完成小組的 5 頁論文、提交實驗數據分析等。

但在導師們的指導下，再加上大量的個人努力，她們最終完成了論文的撰寫。

現在回頭看這個過程，Ne’Kiya 和 Calcea 在論文中這樣寫到：

到達這一步對我們來說并不容易，也不是一條直線前進的道路。

我們沒有任何現成的路線圖，也不確定工作是否會得到認可。很多次我們都想放棄，但最終，還是決定堅持到底，完成已經開始的事情。

而對于這篇論文，陶哲軒也發表了自己的想法：

這篇論文提醒了我們，即使是數學中最古老和最成熟的基礎結果，有時也可以從一個全新的角度重新審視。

除此之外，目前也有不少的數學家已經加入到了討論中：

完整論文放下面了，感興趣的小伙伴可以閱讀哦~

論文地址：

參考鏈接：

[1]https://mathstodon.xyz/@tao/113391326199704210 [2]https://www.sciencedaily.com/releases/2024/10/241028132143.htm

本文來自微信公眾號：，作者：金磊，原標題《陶哲軒推薦：2 高中生發現勾股定理新證明，論文已發 <美國數學月刊>》

廣告聲明：文內含有的對外跳轉鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節省甄選時間，結果僅供參考，所有文章均包含本聲明。